background image

CHAPTER 16

Manifolds and surfaces

1. Sides of a surface

Definition

2427

.

Let

µ

be an endofuncoid on a set

U

.

Surface side

of a

set

T

Ob

µ

is a connected component (regarding

µ

) of the filter (

h

µ

i

T

)

\

T

.

FiXme

:

µ

is used twice in this definition. We may generalize for two different

funcoids instead.

Keep in mind that the above definition may work nicely if

µ

is a complete

funcoid induced by a topological space.

Example

2428

.

For an

R

n

1

subspace

T

of a

R

n

(

n

1) euclidean space and

the complete funcoid

µ

induced by the usual topology:

1

.

T

has exactly two surface sides.

2

. The filter

h

µ

i

@

{

a

} \

T

(for every

a

T

) has exactly two connected

components.

Proof.

Without loss of generality assume that

T

=

(

x

0

, x

1

, . . . , x

n

2

,

0)

x

0

, x

1

, . . . , x

n

2

R

;

a

= (0

, . . . ,

0)

.

We have

h

µ

i

@

{

a

}

=

v

R

n

v

n

1

>

0

u h

µ

i

@

{

a

}

t

v

R

n

v

n

1

<

0

u h

µ

i

@

{

a

}

.

Let us prove that

n

v

R

n

v

n

1

>

0

o

u h

µ

i

@

{

a

}

and

n

v

R

n

v

n

1

<

0

o

u h

µ

i

@

{

a

}

are

connected components.

??

1.1. Special points.

We will start from the example of open

T

=

n

(

x,y,

0)

x

2

+

y

2

<

1

o

and closed

T

=

n

(

x,y,

0)

x

2

+

y

2

1

o

disks in

R

3

.

Exercise

2429

.

Prove that open disk (in a usual 3-dimensional space) has two

surface sides and closed disk has one surface side.

2. Special points

Definition

2430

.

Surface cardinality

of a point

a

(an element of the set Ob

µ

)

is the cardinality of the set of connected components of the filter

h

µ

i

{

a

} \

T

.

Definition

2431

.

Cardinality regular point

is a point

a

, which has a neigh-

borhood (

X

up

h

µ

i

{

a

}

) such that all points

x

X

T

are of the same surface

cardinality as the point

a

.

Cardinality special point

is a point which is not cardinality regular.

Definition

2432

.

Isomorphism regular point

is a point

a

, which has a neigh-

borhood (

X

up

h

µ

i

{

a

}

) such that for all points

x

X

T

the filter

h

µ

i

{

a

}

is

isomorphic to

h

µ

i

{

x

}

.

Isomorphism special point

is a point which is not isomorphism regular.

75