background image

1. FOR TOPOLOGICAL SPACES

72

If we add the requirement

X  Y

to the definition of connected regarding

funcoid, it is nonequivalent. Proof??: Consider connectedness of an ultrafilter.

Proposition

2415

.

S

(

µ

) =

S

1

(

µ

t

1) if

µ

is an endorelation, endofuncoid, or

endoreloid.

FiXme

: for

S

, too.

Proof.

By proved above (

µ

t

1)

n

= 1

t

µ

t

. . .

t

µ

n

.

Thus

S

1

(

µ

t

1) = (1

t

µ

)

t

(1

t

µ

t

µ

2

)

t

. . .

= 1

t

µ

t

µ

2

t

. . .

=

S

(

µ

).

FiXme

: also algebraic properties of

S

1

and

S

1

Theorem

2416

.

FiXme

: Move this theorem in the book,

X

[

d

S

]

Y ⇔ ∀

f

S

:

X

[

f

]

Y

if

S

is a generalized filter base.

Proof.

X

[

d

S

]

Y ⇔

(

X ×

FCD

Y

)

u

d

S

6

=

⊥ ⇔

d

f

S

f

u

(

X ×

FCD

Y

)

6

=

⊥ ⇔

(by properties of generalized filter bases)

⇔ ∀

f

S

:

f

u

(

X ×

FCD

Y

)

6

=

⊥ ⇔ ∀

f

S

:

X

[

f

]

Y

.

Theorem

2417

.

The following are pairwise equivalent for a funcoid

µ

and filter

A

:

1

.

A

is connected regarding funcoid

µ

2

.

A

is connected regarding every funcoid in up

µ

.

3

.

A

is connected regarding every funcoid in up

Γ

µ

.

Proof.

TODO: “Connectedness” should be moved after “Funcoids are filters”

to use Γ in this proof.

1

2

3. Obvious.

3

1. Let

X

,

Y ∈

F

(Ob

µ

) and

X t Y

=

A

. Then

f

up

Γ

µ

:

X

[

f

]

Y

.

Therefore by the theorem ??

X

d

up

Γ

µ

Y

that is

X

[

µ

]

Y

. So

A

is connected

regarding

µ

.

Conjecture

2418

.

For a

Rel

-morphism

F

and a filter

A

the following are

pairwise equivalent:

1

.

A

is connected regarding

FCD

F

.

2

.

A

is connected regarding

RLD

F

.

3

. there is a

F

-path in

A

for every two ultrafilters

a, b

atoms

A

.

Proposed counterexample against

A

is connected regarding

f

iff it is connected

regarding (

FCD

)

f

:

f

=

A ×

RLD

F

A

. First calculate (

B ×

RLD

F

C

)

(

A ×

RLD

F

B

) (and

also for oblique product).

Trying to calculate (

B ×

RLD

F

C

)

(

A ×

RLD

F

B

):

Lemma

2419

.

There are such filters

A

,

B

,

C

and binary relation

h

that

h

w A ×

FCD

C ∧ ¬∃

g

Rel

: (

g

w B ×

FCD

C ∧

h

w

g

(

A ×

FCD

B

))

.

Proof.

Take

A

a principal filter,

B

a trivial ultrafilter and

h

w A ×

FCD

C

such

that

h /

up(

A ×

RLD

C

). (It exists because

A ×

RLD

C 6

=

A ×

RLD

F

C

.

Suppose that

g

w B ×

FCD

C

. Then there is

C

up

C

such that

g

w B ×

C

.

Therefore

g

(

A ×

FCD

B

) =

A ×

FCD

h

g

iB w A ×

FCD

C

=

A ×

C

.)

But

h /

up(

A ×

RLD

C

) = up(

A ×

C

). Thus

h

6 w

g

(

A ×

FCD

B

).

Corollary

2420

.

There are such filters

A

,

B

,

C

and binary relation

h

that

h

w A ×

FCD

C ∧ ¬∃

f, g

Rel

: (

f

w A ×

FCD

B ∧

g

w B ×

FCD

C ∧

h

w

g

f

)

.

Proposition

2421

.

(

B ×

RLD

F

C

)

(

A ×

RLD

F

B

)

6

=

A ×

RLD

F

C

for some proper filters

A

,

B

,

C

.