background image

1. FOR TOPOLOGICAL SPACES

71

Proof.

For counterexample take

µ

=

> \

1.

h

µ

i{

x

}

=

> \ {

x

}

(thus

µ

6w

1

FCD

) and

h

µ

i

a

=

>

for a nontrivial ultrafilter

a

.

Let

X

,

Y ∈

F

(Ob

µ

)

\ {⊥}

and

X t Y

=

>

. If

X

is a trivial ultrafilter then

h

µ

iX

=

> \ {

x

}

adn thus

h

µ

iX 6 Y

, otherwise

h

µ

iX 6 Y

. So in any case

X

[

µ

]

Y

.

Funcoid

µ

is connected.

Proposition

2409

.

If there is a nonzero-length path regarding

µ

in the filter

A

between any two its atomic subfilters, then it is connected regarding

µ

.

Proof.

Let

X t Y

=

A

,

X 6

=

,

Y 6

=

.

Let

p

0

, . . . , p

n

(

n

1)

be a path in

A

and

p

0

atoms

X

and

p

n

atoms

Y

.

Then (take

k

=

min

{

i

∈ {

0

, . . . , n

1

}

|

p

i

+1

atoms

Y}

) there are

p

k

, p

k

+1

such that

p

k

atoms

X

,

p

k

+1

atoms

Y

. But

p

k

[

µ

]

p

k

+1

by definition of path. Thus

X

[

µ

]

Y

.

Proposition

2410

.

If a filter

A

is connected regarding funcoid

µ

reflexive on

A

then it is connected regarding every

µ

n

for

n

Z

+

.

Proof.

Let

X t Y

=

A

,

X 6

=

,

Y 6

=

. We have

h

µ

iX 6 Y

.

Then

h

µ

iX 6v X

; therefore by reflexivity

h

µ

iX

A

X

. Repeating this step we

get

h

µ

ih

µ

iX

A

X

that is

h

µ

2

iX

A

X

, etc.

We have

h

µ

n

iX

A

X

and thus

h

µ

n

iX 6 Y

that is

X

[

µ

n

]

Y

.

Example

2411

.

Connected funcoid without a path between given ultrafilters.

Proof.

Consider

|

R

|

. It is connected (prove!) but there is no path (prove!)

between two distinct singletons.

Theorem

2412

.

If meet of two connected (regarding a funcoid) filters is non-

least, then their join is connected.

Proof.

Let

A

and

B

be intersecting filters, both connected regarding an endo-

funcoid

µ

. Let

X t Y

=

A t B

for proper filters

X

,

Y

. Then either

X

or

Y

intersects

A u B

. Without loss of generality assume

X u A u B 6

=

. Also

Y

intersects either

A

or

B

. Without loss of generality assume

Y u A 6

=

.

Note

X u A 6

=

.

We have (

X uA

)

t

(

Y uA

) = (

X tY

)

uA

= (

AtB

)

uA

=

A

. So

X uA

[

µ

]

Y uA

because

A

is connected, consequently

X

[

µ

]

Y

that is

A t B

is connected.

Theorem

2413

.

If meet of two connected (regarding a reloid) filters is

nonempty, then their join is connected.

Proof.

Let

S

1

(

µ

u

(

A × A

)) =

A × A

;

S

1

(

µ

u

(

B × B

)) =

B × B

for filters

A 6 B

.

S

1

(

µ

u

((

A t B

)

×

(

A t B

))) =

S

1

(

µ

u

((

A × A

)

t

(

B × B

)

t

(

A × B

)

t

(

B × A

)))

w

S

1

(

µ

u

(

A × A

))

t

S

1

(

µ

u

(

B × B

))

w

(

A × A

)

t

(

B × B

).

Let for example

x

atoms

A

. Then

h

S

1

(

µ

u

((

A t B

)

×

(

A t B

)))

i

x

w A

and

(taking into account

A 6 B

):

h

µ

u

((

A t B

)

×

(

A t B

))

ih

S

1

(

µ

u

((

A t B

)

×

(

A t B

)))

i

x

w B

.

Thus

h

S

1

(

µ

u

((

A t B

)

×

(

A t B

)))

i

x

w A

and

h

S

1

(

µ

u

((

A t B

)

×

(

A t B

)))

i

x

w B

for

every ultrafilter

x

atoms(

A t B

), that is

h

S

1

(

µ

u

((

A t B

)

×

(

A t B

)))

i

x

w A t B

.

So

S

1

(

µ

u

((

A t B

)

×

(

A t B

)))

w A t B

that is

A t B

is connected.

Corollary

2414

.

Distinct connected components (for both a funcoid or a

reloid) don’t intersect.

Proof.

If connected components

A 6

=

B

intersect, then

A t B

is a connected

filter and either

A t B

A

A

or

A t B

A

B

what contradicts to the definition of

connected components.