background image

1. FOR TOPOLOGICAL SPACES

70

Also for

S

Example

2402

.

Connected components may not form a weak partition.

Proof.

Consider funcoid 1

FCD

(

R

)

t

(∆

×

FCD

∆) on real line. Then connected

components are (prove!) non-zero singletons and ∆. It is not a weak partition.

Conjecture

2403

.

If the set of connected components is finite, then it is a

strong partition. Moreover the set of connected components is a tearing.

Add more counter-examples (for non-principal filters).

Obvious

2404

.

Improper filter

F

is connected regarding:

1

. every funcoid;

2

. every reloid.

Proposition

2405

.

The only filter connected regarding

1

.

FCD

(

A

)

;

2

.

RLD

(

A

)

is the improper filter

F

.

Proof.

1

. Let

A

be a filter. Take

X

=

Y

=

A ∈

F

(Ob

µ

)

\ {⊥}

. Then

X t Y

=

A

but not

X

[

µ

]

Y

.

2

.

S

1

(

RLD

(

A

)

) =

S

1

(

RLD

(

A

)

) =

RLD

(

A

)

. Thus the only connected filter

is

F

.

Proposition

2406

.

Connected filters regarding

1

. 1

FCD

(

A

)

;

2

. 1

RLD

(

A

)

are exactly ultrafilters and the improper filter.

Proof.

1. That ultrafilters are connected follows from the fact that for every

non-least

X

,

Y

such that

X t Y

=

A

we have

X

=

Y

=

A

and thus

X

[1

FCD

(

A

)

]

Y

.

So ultrafilters are connected; so is improper filter too, because improper filter is
always connected.

It remains to prove that filters containing more than one distinct ultrafilter are

not connected. Really let distinct ultrafilters

a, b

atoms

A

. Then not

a

[1

FCD

(

A

)

]

b

.

Thus

A

is not connected.

2. A filter

a

is connected iff

S

1

(1

RLD

(

A

)

u

(

a

×

RLD

a

))

w

a

×

RLD

a

that is iff

S

1

(id

RLD

a

)

w

a

×

RLD

a

,

d

F

up id

RLD

a

S

1

(

F

)

w

a

×

RLD

a

what by properties of generalized filter bases is

equivalent to

d

A

up

a

S

1

(id

A

)

w

a

×

RLD

a

;

d

A

up

a

id

A

w

a

×

RLD

a

; id

RLD

a

w

a

×

RLD

a

.

This is true exactly for ultrafilters and the improper filter.

Definition

2407

.

A

path

regarding funcoid

µ

is a tuple

p

0

, . . . , p

n

(

n

N

) of

atomic filters such that

p

i

[

µ

]

p

i

+1

for every

i

= 0

, . . . , n

1.

The number

n

is called

path length

.

A path is

between

atomic filters

a

and

b

iff

p

0

=

a

and

p

n

=

b

.

Example

2408

.

µ

w

id

FCD

A

is not necessary for a filter

A

to be connected

regarding a funcoid

µ

. Moreover

µ

w

1

FCD

is not necessary for a filter

>

to be

connected regarding a funcoid

µ

.