background image

3. IMAGE AND DOMAIN

7

Obvious

2062

.

ι

B

0

,B

1

f

v

f

.

Proposition

2063

.

ι

Src

f,

Dst

f

f

=

f

.

Proof.

ι

Src

f,

Dst

f

f

=

E

Dst

f,

Dst

f

C

f

◦ E

Src

f,

Src

f

C

= 1

Dst

f

C

f

1

Src

f

C

=

f

.

Proposition

2064

.

The function

ι

B

0

,B

1

|

f

Hom

C

(

A

0

,A

1

)

is injective, provided

that

A

0

v

B

0

and

A

1

v

B

1

.

Proof.

Because

E

A

1

,B

1

C

is a monomorphism and

E

A

0

,B

0

C

is an epimorphism.

Corollary

2065

.

The function

ι

B

0

,B

1

|

f

Hom

C

(

A

0

,A

1

)

is order embedding if

A

0

v

B

0

A

1

v

B

1

for ordered categories with restricted identities.

3. Image and domain

Let define that

S

A

=

n

K

Z

X

∈A

:

X

K

o

holds not only for filters but for any set

A

of sets.

Obvious

2066

.

S

A ⊇ A

.

Definition

2067

.

1

. IM

f

=

Y

Z

E

Y,

Dst

f

C

◦E

Dst

f,Y

C

f

=

f

=

Y

Z

id

C

(Dst

f,

Dst

f

)

[

Y

]

u

[Dst

f

]

f

=

f

;

2

. DOM

f

=

X

Z

f

◦E

Src

f,X

C

◦E

X,

Src

f

C

=

f

=

X

Z

f

id

C

(Src

f,

Src

f

)

[

X

]

u

[Src

f

]

=

f

.

Definition

2068

.

1

. Im

f

=

n

Y

IM

f

Y

v

Dst

f

o

;

2

. Dom

f

=

n

X

DOM

f

X

v

Src

f

o

.

Proposition

2069

.

1

. IM

f

=

S

Im

f

;

2

. DOM

f

=

S

Dom

f

;

3

. Im

f

=

h

Dst

f

∩i

IM

f

;

4

. Dom

f

=

h

Dst

f

∩i

DOM

f

.

Proof.

IM

f

=

Y

Z

id

C

(Dst

f,

Dst

f

)

[

Y

]

u

[Dst

f

]

f

=

f

.

Suppose

Y

IM

f

. Then take

Y

0

=

Y

u

Dst

f

. We have

Y

w

Y

0

and

Y

0

Im

f

.

So

Y

S

Im

f

. If

Y

S

Im

f

then

Y

IM

f

obviously. So IM

f

=

S

Im

f

.

h

Dst

f

∩i

IM

f

Im

f

is obvious. If Im

f

⊆ h

Dst

f

∩i

IM

f

is also obvious.

The rest follows from symmetry.

Conjecture

2070

.

Im

f

may be not a filter for an injective category with

restricted morphisms.

Proposition

2071

.

Dst

f

Im

f

; Src

f

Dom

f

for every morphism

f

of a

category with restricted identities.

Proof.

Prove Dst

f

Im

f

(the other is similar): We need to prove that

E

Dst

f,

Dst

f

C

◦E

Dst

f,

Dst

f

C

f

=

f

what follows from

E

Dst

f,

Dst

f

C

◦E

Dst

f,

Dst

f

C

= 1

Dst

f

.

Proposition

2072

.

IM

f

, Im

f

, DOM

f

, Dom

f

are upper sets.

Proof.

For Im

f

, Dom

f

it follows from the previous proposition.

For IM

f

, DOM

f

it follows from the thesis for Im

f

, Dom

f

.

Definition

2073

.