 CHAPTER 14

More on connectedness

1. For topological spaces

Proposition

2395

.

The following are pairwise equivalent:

1

. a topological space on a set

U

is connected.

FiXme

: definition; can the

topological definition be generalized to filters?

2

.

U

is connected regarding

f

t

f

1

if

f

is the corresponding complete fun-

coid.

3

.

U

is connected regarding

f

t

f

1

if

f

is the corresponding closure space.

4

.

U

is connected regarding

f

f

1

if

f

is the corresponding complete funcoid.

Proof.

??

Proposition

2396

.

There are filters

A

,

B

, such that there are no filters

X v A

,

Y v B

such that

X t Y

=

A t B

and

X  Y

.

Proof.

https://math.stackexchange.com/questions/2639206

(It also follows that sometimes

Z

(

Da

) is not a complete lattice, because other-

wise we could prove this theorem.)

Proposition

2397

.

If

A

,

B

are filters and

A t B

=

U

is principal filter, then

there are sets

X

v A

,

Y

v B

such that

X

t

Y

=

U

and

X

Y

.

Proof.

Take

X

= Cor

A

and

Y

0

= Cor

B

. Then

X

t

Y

0

=

U

because of

co-separability of

F

(

U

). Take

Y

=

U

\

X

. Then

X

t

Y

=

U

and

X

Y

.

Proposition

2398

.

A principal filter

A

is connected regarding endofuncoid

µ

iff

X, Y

P

(Ob

µ

)

\ {⊥}

: (

X

t

Y

=

A

X

Y

X

[

µ

]

Y

)

.

Proof.

Easily follows from ??.

Definition

2399

.

Connected component

of a filter regarding a funcoid or a

reloid is a maximal connected subfilter of this filter.

Obvious

2400

.

Subfilter of a connected filter is connected.

Proposition

2401

.

If

U

is a principal filter, then it is connected regarding

µ

iff it is connected regarding

S

(

µ

).

FiXme

: It should be presented as a corollary of

a below theorem.

Proof.

If

U

is connected regarding

µ

, it is connected regarding

S

(

µ

), obvi-

ously.

Suppose

U

is connected regarding

S

(

µ

). Then for

X, Y

P

(Ob

µ

)

\ {⊥}

we

have if

X

t

Y

=

U

and

X

Y

, then

X

[

S

(

µ

)]

Y

. So

X

×

Y

6

1

t

µ

t

µ

2

t

. . .

and thus by distributivity for principal filter we have

X

×

Y

6

µ

n

for some

n

??

that is

X

[

µ

n

]

Y

for some

n

and thus there are atomic filters

p

0

, . . . , p

n

such

that

p

0

atoms

F

X

,

p

n

atoms

F

Y

and

p

i

[

µ

]

p

i

+1

. Thus there is

k

such that

p

k

[

µ

]

p

k

+1

and

p

k

atoms

F

X

,

p

k

+1

atoms

F

Y

. Thus

X

[

µ

]

Y

. We have

U

connected regarding

µ

.

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