 1. ON “EACH REGULAR PARATOPOLOGICAL GROUP IS COMPLETELY REGULAR” ARTICLE

65

Lemma

2390

.

(assuming conjecture 1444) For every

U

up

µ

(where

µ

is a

T

4

topological space) such that

¬

A

U

U

1

B

there is

W

up

µ

such that

U

U

1

w

µ

1

W

W

1

W

W

1

. For it holds

¬

A

W

W

1

B

. We can

assume that

h

W

i

X

is open for every set

X

.

Proof.

Applying the previous lemma twice, we have some open

W

up

µ

such that

U

U

1

w

W

W

1

W

W

1

W

W

1

W

W

1

and

¬

A

W

W

1

B

. From this easily follows that

U

U

1

w

µ

1

W

W

1

W

W

1

.

A modified proof of Urysohn’s lemma follows. This proof is in part based on [

1

].

(I attempt to find common generalization of Urysohn’s lemma and results from [

1

]).

Q

2

def

=

n

k/

2

n

k,n

N

,

0

<k<

2

n

o

.

Theorem

2391

.

Urysohn’s lemma (see Wikipedia) for disjoint closed sets

A

and

B

and function

f

on a topological space

µ

(considered as complete funcoid).

Proof.

(assuming conjecture 1444) (used ProofWiki among other sources)

Because

A

and

B

are disjoint closed sets, we have

h

µ

i

A

h

µ

i

B

. Thus by

the corollary

2388

take

S

0

up

µ

and

¬

A

S

0

S

1

0

B

.

We have

µ

µ

1

µ

µ

1

v

µ

µ

1

that is up(

µ

µ

1

µ

µ

1

)

up(

µ

µ

1

).

Let’s prove by induction: There is a sequence

S

of binary relations starting with

S

0

such that

¬

A

S

i

S

1

i

B

and

S

i

S

1

i

w

µ

1

S

i

+1

S

1

i

+1

S

i

+1

S

1

i

+1

.

It directly follows from the lemma (and uses the conjecture).

Denote

U

i

=

S

i

+1

S

1

i

+1

. We have

U

i

w

µ

1

U

i

+1

U

i

+1

and

¬

A

[

U

i

]

B

.

By reflexivity of

µ

we have

U

i

+1

U

i

+1

U

i

+1

U

i

.

Define fractional degree of

U

:

U

r

def

=

U

r

1

1

. . .

U

r

lr

l

r

for every

r

Q

2

where

r

1

. . . r

l

r

is the binary expansion of

r

.

Prove

U

r

U

0

. It is enough to prove

U

0

U

1

. . .

U

l

r

. It follows from

U

2

. . .

U

l

r

U

1

,

U

3

. . .

U

l

r

U

2

, . . . ,

U

l

r

U

l

r

1

what was shown above.

Let’s prove: For each

p, q

Q

2

such that

p < q

we have

µ

1

U

p

v

U

q

. We

can assume binary expansion of

p

and

q

be the same length

c

(add zeros at the end

of the shorter one). Now it is enough to prove

U

k

U

q

k

+1

k

+1

◦ · · · ◦

U

q

c

c

w

µ

1

U

p

k

+1

k

+1

U

p

k

+2

k

+2

◦ · · · ◦

U

p

c

c

.

But for this it’s enough

U

k

w

µ

1

U

k

+1

U

k

+2

◦ · · · ◦

U

c

what can be easily proved by induction: If

k

=

c

then it takes the form

U

k

w

µ

1

what is obvious. Suppose it holds for

k

. Then

U

k

1

w

µ

1

U

k

U

k

w

µ

1

U

k

µ

1

U

k

+1

U

k

+2

◦ · · · ◦

U

c

w

µ

1

U

k

U

k

+1

U

k

+2

◦ · · · ◦

U

c

, that is it holds for

all natural

k

c

.

It is easy to prove that

h

U

r

i

X

is open for every set

X

.

We have

µ

1

h

U

p

i

X

v h

U

q

i

X

.

f

(

z

)

def

= inf

{

1

} ∪

q

Q

2

z

∈ h

U

q

i

A

.

f

is properly defined because

{

1

} ∪

n

q

Q

2

z

∈h

U

q

i

A

o

is nonempty and bounded.