 1. ON “EACH REGULAR PARATOPOLOGICAL GROUP IS COMPLETELY REGULAR” ARTICLE

63

1. On “Each regular paratopological group is completely regular”

article

In this chapter I attempt to rewrite the paper [

1

in more general setting of

funcoids and reloids. I attempt to construct a “royal road” to finding proofs of
statements of this paper and similar ones, what is important because we lose 60
years waiting for any proof.

1.1. Definition of normality.

By definition (slightly generalizing the special

case if

µ

is a quasi-uniform space from [

1

]) a pair of an endo-reloid

µ

and a complete

funcoid

ν

(playing role of a generalization of a topological space) on a set

U

is

normal

when

ν

1

A

v

D

ν

1

E

ν

1

h

F

i

A

for every entourage

F

up

µ

of

µ

and every set

A

U

.

Note that this is

not

the same as customary definition of normal topological

spaces.

Theorem

2378

.

An endoreloid

µ

is normal on endoreloid

ν

iff

ν

ν

1

v

ν

1

(

FCD

)

µ.

Proof.

Equivalently transforming the criterion of normality (which should

hold for all

F

up

µ

) using proposition

2222

:

h

ν

i

ν

1

A

v

ν

1

h

F

i

A

.

Also note

d

F

F

up

µ

ν

1

h

F

i

A

=

(because funcoids preserve filtered meets)

=

ν

1

d

F

F

up

µ

h

F

i

A

=

ν

1

h

(

FCD

)

µ

i

A

.

Thus the above is equivalent to

h

ν

i

ν

1

A

v

ν

1

h

(

FCD

)

µ

i

A

.

And this is in turn equivalent to

ν

ν

1

v

ν

1

(

FCD

)

µ.

Definition

2379

.

An endofuncoid

µ

is

normal

on endofuncoid

ν

when

ν

ν

1

v

ν

1

µ

.

FiXme

: No need for

ν

to be endomorphism.

Obvious

2380

.

1

. Endoreloid

µ

is normal on endofuncoid

ν

iff endofuncoid (

FCD

)

µ

is normal

on endofuncoid

ν

.

2

. Endofuncoid

µ

is normal on endoreloid

ν

iff endofuncoid (

RLD

)

in

µ

is nor-

mal on endofuncoid

ν

.

Corollary

2381

.

If

ν

is a symmetric endofuncoid and

µ

w

ν

1

, then it is

normal.

Corollary

2382

.

(generalization of proposition 1 in [

1

]) If

ν

is a symmetric

endofuncoid and Compl

µ

w

ν

1

, then it is normal.

Definition

2383

.

A funcoid

ν

is

normally reloidazable

iff there exist a reloid

µ

such that (

µ, ν

) is normal and

ν

= Compl(

FCD

)

µ

.

Definition

2384

.

A funcoid

ν

is

normally quasi-uniformizable

iff there exist a

quasi-uniform space (= reflexive and transitive reloid)

µ

such that (

µ, ν

) is normal

and

ν

= Compl(

FCD

)

µ

.

Proposition

2385

.

A funcoid

ν

is normally reloidazable iff there exist a fun-

coid

µ

such that

µ

is normal on

ν

and

ν

= Compl

µ

.