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CHAPTER 12

Funcoidal groups

Remark

2373

.

FiXme

: Move this into the book.

If

µ

and

ν

are cocomplete

endofuncoids, then we can describe

f

C(

µ, ν

) without using filters by the formu-

las:

1

.

h

f

i

h

µ

i

X

v h

ν

i

h

f

i

X

(for every set

X

in

P

Ob

µ

)

2

.

h

µ

i

X

v h

f

1

i

h

ν

i

h

f

i

X

(for every set

X

in

P

Ob

µ

)

3

.

h

f

i

h

µ

i

h

f

1

i

Y

v h

ν

i

Y

(for every set

Y

in

P

Ob

ν

)

Funcoidal groups are modeled after topological groups (see Wikipedia) and are

their generalization.

Definition

2374

.

Funcoidal group

is a group

G

together with endofuncoid

µ

on Ob

G

such that

1

. (

y

·

)

C(

µ

;

µ

) for every

y

G

;

2

. (

·

x

)

C(

µ

;

µ

) for every

x

G

;

3

. (

x

7→

x

1

)

C(

µ

;

µ

) for every

x

G

.

Proposition

2375

.

t

7→

y

·

t

·

x

and

t

7→

y

·

t

1

·

x

are continuous functions.

Proof.

As composition of continuous functions.

Obvious

2376

.

Composition of functions of the forms

t

7→

y

·

t

·

x

and

t

7→

y

·

t

1

·

x

are also a function of one of these forms.

What is the purpose of the following (yet unproved) proposition? I don’t know,

but it looks curious.

Proposition

2377

.

Let

E

be a composition of functions of a form

h

µ

i

,

h

y

·i

,

x

i

,

h

1

i

(where

x

and

y

vary arbitrarily) such that

µ

is met in the composition

at least once. Let also either

µ

=

µ

µ

or

µ

is met exactly once in the product.

There are such elements

x

0

,

y

0

that either

1

. (

t

7→

y

0

·

t

·

x

0

)

◦ h

µ

i v

E

v h

µ

i ◦

(

t

7→

y

0

·

t

·

x

0

);

2

. (

t

7→

y

0

·

t

1

·

x

0

)

◦ h

µ

i v

E

v h

µ

i ◦

(

t

7→

y

0

·

t

1

·

x

0

).

Proof.

Using continuity a few times we prove that

E

v h

µ

i

. . .

◦ h

µ

i

f

n

. . .

f

1

where

f

i

are functions of the forms

t

7→

y

·

t

·

x

or

t

7→

y

·

t

1

·

x

for

n

N

. But

h

µ

i

. . .

◦ h

µ

i

=

h

µ

i

by conditions and

f

n

. . .

f

1

is of the form

t

7→

y

·

t

·

x

or

t

7→

y

·

t

1

·

x

by above proposition.

E

v h

µ

i ◦

(

t

7→

y

0

·

t

·

x

0

) or

E

v h

µ

i ◦

(

t

7→

y

0

·

t

1

·

x

0

)

The second inequalty is similar. Note that

x

0

and

y

0

are the same for the first

and for the second item.

(

G, µ

) vs (

G, µ

1

) are they isomorphic?

FiXme

: We can also define reloidal groups.

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