background image

8. MORE ON CAUCHY FILTERS

57

Lemma

2349

.

Let

f

be a reloid. Each ideal base

T

n

(

A

,

B

)

RLD

Bv

f

o

has a join

in this set.

Proof.

Let

T

be an ideal base and

(

A

,

B

)

T

:

A ×

FCD

B v

f

.

(

A

,

B

)

T

∀X ∈

F

Src

f

: (

X 6 A ⇒ B v h

f

iX

);

taking join we have:

∀A ∈

Pr

0

T

∀X ∈

F

Src

f

:

X 6 A ⇒

d

B∈

Pr

1

T

B v h

f

iX

;

∀A ∈

Pr

0

T

:

A ×

FCD

d

B∈

Pr

1

T

B v

f

.

Now repeat a similar operation second time:

∀A ∈

Pr

0

T

:

d

B∈

Pr

1

T

B ×

FCD

A v

f

1

;

∀A ∈

Pr

0

T

∀Y ∈

F

Dst

f

:

Y 6

d

B∈

Pr

1

T

B ⇒ A v h

f

1

iY

;

∀Y ∈

F

Dst

f

:

Y 6

d

B∈

Pr

1

T

B ⇒

d

A∈

Pr

0

T

A v h

f

1

iY

;

d

B∈

Pr

1

T

B ×

FCD

d

A∈

Pr

0

T

A v

f

1

;

d

A∈

Pr

0

T

A ×

FCD

d

B∈

Pr

1

T

B v

f

. But

d

A∈

Pr

0

T

A ×

FCD

d

B∈

Pr

1

T

B

is the join

in consideration, because ideal base is ideal base in each argument.

Proposition

2350

.

A Cauchy space generated by an endoreloid is always up-

complete.

Proof.

Let

f

be an endoreloid. GR(Low)

f

=

n

X ∈

Ob

f

X ×

RLD

X v

f

o

.

Let

T

n

X ∈

Ob

f

X ×

RLD

X v

f

o

be an ideal base.

Then

N

=

n

(

F

,

F

)

F ∈

T

o

is also an ideal base. Obviously

N

n

(

A

,

B

)

RLD

Bv

f

o

. Thus

by the lemma it has a join in

n

(

A

,

B

)

RLD

Bv

f

o

. It’s easy to see that this join is in

n

(

A

,

A

)

A∈

Ob

f,

RLD

Av

f

o

. Consequently

T

has a join in

n

X ∈

Ob

f

X ×

RLD

X v

f

o

.

It is long time known that (using our terminology) low space induced by a

uniform space is a Cauchy space, but that it is complete and up-complete is probably
first discovered by Victor Porton.

8. More on Cauchy filters

Obvious

2351

.

Low filter on an endoreloid

ν

is a filter

F

such that

U

GR

f

A

∈ F

:

A

×

A

U.

Remark

2352

.

The above formula is the standard definition of Cauchy filters

on uniform spaces.

Proposition

2353

.

If

ν

w

ν

ν

1

then every neighborhood filter is a Cauchy

filter, that it

ν

w h

(

FCD

)

ν

i

{

x

} ×

RLD

h

(

FCD

)

ν

i

{

x

}

for every point

x

.

Proof.

h

(

FCD

)

ν

i

{

x

} ×

RLD

h

(

FCD

)

ν

i

{

x

}

=

h

(

FCD

)

ν

i ↑

Ob

ν

{

x

} ×

RLD

h

(

FCD

)

ν

i ↑

Ob

ν

{

x

}

=

ν

(

Ob

ν

{

x

RLD

Ob

ν

{

x

}

)

ν

1

=

ν

(

RLD

(Ob

ν,

Ob

ν

)

{

(

x, x

)

}

)

ν

1

v

ν

id

RLD

(Ob

ν,

Ob

ν

)

ν

1

=

ν

ν

1

v

ν

.

Proposition

2354

.

If

ν

w

ν

ν

1

a filter converges (in

ν

) to a point, it is a

low filter, provided that every neighborhood filter is a low filter.

Proof.

Let

F v h

(

FCD

)

ν

i

{

x

}

.

Then

F ×

RLD

F v h

(

FCD

)

ν

i

{

x

} ×

RLD

h

(

FCD

)

ν

i

{

x

} v

ν

.

Corollary

2355

.

If a filter converges to a point, it is a low filter, provided

that

ν

w

ν

ν

1

.