 7. UP-COMPLETE LOW SPACES

56

Proof.

The right part of the above formula

µ

is a graph of an almost sub-join

space (lemma).

That

µ

is an upper bound of

S

is obvious.

It remains to prove that

µ

is the least upper bound.

Suppose

ν

is an upper bound of

S

. Then

ν

S

S

. Thus, because

ν

is an almost

sub-join-semilattice,

Z

(

ν

)

ν

, likewise

Z

(

Z

(

ν

))

ν

, etc.

Consequently

Z

(

S

S

)

ν

,

Z

(

Z

(

S

S

))

ν

, etc. So we have

µ

v

ν

.

Conjecture

2342

.

1

.

d

CASJ

S

=

d

T

0

t···t

d

T

n

1

n

N

, T

0

, . . . , T

n

1

[

S,

l

T

0

6

=

⊥ ∧ · · · ∧

l

T

n

1

6

=

,

l

T

0

6

l

T

1

∧ · · · ∧

l

T

n

2

6

l

T

n

1

.

;

2

.

d

CASJ

S

=

d

T

0

t

d

T

1

t

...

T

0

, T

1

,

· · · ∈

[

S,

l

T

0

6

=

⊥ ∧

l

T

2

6

=

⊥ ∧

. . . ,

l

T

0

6

l

T

1

l

T

1

6

l

T

2

. . .

.

7. Up-complete low spaces

Definition

2343

.

Ideal base

is a nonempty subset

S

of a poset such that

a, b

S

c

S

: (

a, b

v

c

).

Obvious

2344

.

Ideal base is dual of filter base.

Theorem

2345

.

Product of nonempty posets is a ideal base iff every factor is

an ideal base.

Proof.

FiXme

: more detailed proof

In one direction it is easy: Suppose one multiplier is not a dcpo. Take a chain

with fixed elements (thanks our posets are nonempty) from other multipliers and
for this multiplier take the values which form a chain without the join. This proves
that the product is not a dcpo.

Let now every factor is dcpo.

S

is a filter base in

Q

A

iff each component

is a filter base. Each component has a join. Thus by proposition 638

S

has a

componentwise join.

Definition

2346

.

I call a low space

up-complete

when each ideal base (or

equivalently every nonempty chain, see theorem 586) in this space has join in this
space.

Remark

2347

.

Elements of this ideal base are filters. (Thus is could be called

a generalized ideal base.)

Example

2348

.

1

.

n

X ∈

F

]0;+

[

ε>

0:

X v↑

]

ε

;+

[

o

∪ ↑ {

0

}

is a graph of Cauchy space on

R

+

, but not

up-complete.

2

.

F

[0; +

[ is a strictly greater graph of Cauchy space on

R

+

and is up-

complete.