background image

6. LATTICES OF LOW SPACES

55

Now suppose

F

Q

that is for a natural

m

F

Z . . . Z

|

{z

}

m

times

[

S

.

Let’s prove by induction that

F

=

F

0

t · · · t

F

n

1

for some

F

0

, . . . , F

n

1

S

S

such that

F

0

6

F

1

F

1

6

F

2

∧ · · · ∧

F

n

2

6

F

n

1

. If

m

= 0 then

F

S

S

and our

promise is obvious. Let our statement holds for a natural

m

. Prove that it holds

for

F

0

Z . . . Z

|

{z

}

m

+1 times

[

S

.

We have

F

0

=

Z

(

F

) for some

F

=

F

0

t · · · t

F

n

1

where

F

0

6

F

1

F

1

6

F

2

· · · ∧

F

n

2

6

F

n

1

. The case

F

0

=

is easy. So we can assume

F

0

=

A

t

B

where

A, B

F

and

A

6

B

. By the statement of induction

A

=

A

0

t · · · t

A

p

1

,

B

=

B

0

t · · · t

B

q

1

for natural

p

and

q

, where

A

0

6

A

1

A

1

6

A

2

∧ · · · ∧

A

p

2

6

A

p

1

,

B

0

6

B

1

B

1

6

B

2

∧ · · · ∧

B

n

2

6

B

n

1

. Take

j

such that

A

6

B

j

and

then take

i

such that

A

i

6

B

j

. Then (using symmetry of the relation

6

) we have

(

A

0

6

A

1

A

1

6

A

2

∧ · · · ∧

A

p

2

6

A

p

1

)

(

A

p

1

6

A

p

2

6

. . . A

i

+1

6

A

i

)

A

i

6

B

j

(

B

j

6

B

j

1

∧ · · · ∧

B

1

6

B

0

)

(

B

0

6

B

1

B

1

6

B

2

∧ · · · ∧

B

q

2

6

B

q

1

).

So

F

0

=

A

t

B

is representable as the join of a finite sequence of filters with each

adjacent pair of filters in this sequence being intersecting. That is

F

0

Q

.

Proposition

2337

.

The lattice of Cauchy spaces (on some set) is a complete

sublattice of the lattice of almost sub-join spaces.

Proof.

It’s obvious, taking into account obvious

2301

.

Denote

Z

(

f

) =

n

d

T

T

P

f

d

T

6

=

o

∪ {⊥}

.

Proposition

2338

.

Z

(

f

)

w

f

.

Proof.

Consider for

F

f

both cases

F

=

and

F

6

=

.

Lemma

2339

.

If

S

is a set of graphs of low spaces, then

Q

=

[

S

Z

[

S

Z

Z

[

S

. . .

is a graph of a completely Cauchy space.

Proof.

That it is nonempty and a lower set of filters is obvious. It remains

to prove that it is a completely almost sub-join-semilattice.

Let

T

P

Q

and

d

T

6

=

. Then

T

P

Z

. . . Z

|

{z

}

n

times

[

S

for a natural

n

. Thus

T

P

Z

. . . Z

|

{z

}

n

+1 times

[

S

and so

d

T

Q

.

Proposition

2340

.

The lattice of completely Cauchy spaces (on some set) is

a complete sublattice of the lattice of completely almost sub-join spaces.

Proof.

It’s obvious, taking into account obvious

2301

.

Proposition

2341

.

Join of a set

S

on the lattice of graphs of completely almost

sub-join-semilattice is described by the formula:

CASJ

l

S

=

[

S

Z

[

S

Z

Z

[

S

. . .