background image

6. LATTICES OF LOW SPACES

54

5

. Cauchy spaces;

6

. completely Cauchy spaces.

Denote

Z

(

f

) =

n

F

t

G

F

f,G

f,F

6

G

o

∪ {⊥}

for every set

f

of filters (on some fixed

set).

Proposition

2332

.

Z

(

f

)

w

f

for every set

f

of filters.

Proof.

Consider for

F

f

both cases

F

=

and

F

6

=

.

Lemma

2333

.

For graphs of low spaces

f

,

g

(on the same set)

Q

=

[

S

Z

[

S

Z

Z

[

S

. . .

is a graph of some almost sub-join space.

Proof.

That it is nonempty and a lower set of filters is obvious. It remains

to prove that it is an almost sub-join-semilattice.

Let

A

,

B ∈

Q

and

A 6 B

. Then

A

,

B ∈

Z . . . Z

|

{z

}

n

times

[

S

for a natural

n

. Thus

A t B ∈

Z . . . Z

|

{z

}

n

+1 times

[

S

and so

A t B ∈

Q

.

Proposition

2334

.

Join on the lattice of graphs of almost sub-join spaces is

described by the formula

ASJ

l

S

=

[

S

Z

[

S

Z

Z

[

S

. . .

Proof.

The right part of the above formula

µ

is a graph of an almost sub-join

space (lemma).

That

µ

is an upper bound of

S

is obvious.

It remains to prove that

µ

is the least upper bound.

Suppose

ν

is an upper bound of

S

. Then

ν

S

S

. Thus, because

ν

is an

almost sub-join-semilattice,

Z

(

ν

)

ν

, likewise

Z

(

Z

(

ν

))

ν

, etc. Consequently

Z

(

S

S

)

ν

,

Z

(

Z

(

S

S

))

ν

, etc. So we have

µ

v

ν

.

Proposition

2335

.

FiXme

: Should be merged with the previous proposition.

ASJ

l

S

=

F

0

t · · · t

F

n

1

F

0

, . . . , F

n

1

S

S, F

0

6

F

1

F

1

6

F

2

∧ · · · ∧

F

n

2

6

F

n

1

for

n

N

.

Remark

2336

.

We take

F

0

t · · · t

F

n

1

=

for

n

= 0.

Proof.

Denote the right part of the above formula as

R

.

Suppose

F

R

. Let’s prove by induction that

F

Q

. If

F

=

that’s obvious.

Suppose we know that

F

0

t · · · t

F

n

1

Q

that is for a natural

m

F

0

t · · · t

F

n

1

Z . . . Z

|

{z

}

m

times

[

S

for

F

0

, . . . , F

n

1

S

S

,

F

0

6

F

1

F

1

6

F

2

∧· · ·∧

F

n

2

6

F

n

1

and also

F

n

1

6

F

n

.

Then

F

0

t · · · t

F

n

1

6

F

n

and thus

F

0

t · · · t

F

n

1

t

F

n

Z . . . Z

|

{z

}

m

+1 times

(

S

S

) that is

F

0

t · · · t

F

n

1

t

F

n

Q

. So

F

Q

for every

F

R

.