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6. LATTICES OF LOW SPACES

53

Proposition

2325

.

d

S

=

d

im

P

P

Q

X

S

X

for every set

S

of graphs of low

spaces on some set.

Proof.

First prove that there is such low space

µ

that

µ

=

d

im

P

P

Q

X

S

X

. In

other words, we need to prove that

d

im

P

P

Q

X

S

X

is a nonempty lower set. That it

is nonempty is obvious. Let filter

G v F

and

F ∈

d

im

P

P

Q

X

S

X

. Then

F

=

d

im

P

for a

P

Q

X

S

X

that is

P

(

X

)

X

for every

X

S

. Take

P

0

= (

Gu

)

P

. Then

P

0

Q

X

S

X

because

P

0

(

X

)

X

for every

X

S

and thus obviously

G

=

d

im

P

0

and thus

G ∈

d

im

P

P

Q

X

S

X

. So such

µ

exists.

It remains to prove that

µ

is the greatest lower bound of

S

.

µ

is a lower bound of

S

. Really, let

X

S

and

Y

X

. Then exists

P

Q

X

S

X

such that

P

(

X

) =

Y

(taken into account that every

X

is nonempty) and

thus im

P

3

Y

and so

d

im

P

v

Y

, that is (proposition

2322

)

µ

v

X

.

Let

ν

be a lower bound of

S

. It remains to prove that

µ

w

ν

, that is

Q

ν

:

Q

=

d

im

P

for some

P

Q

X

S

X

. Take

P

= (

λX

S

:

Q

). This

P

Q

X

S

X

because

Q

X

for every

X

S

.

Corollary

2326

.

f

u

g

=

n

F

u

G

F

f,G

g

o

for every graphs

f

and

g

of low spaces

(on some set).

6.1. Its subsets.

Proposition

2327

.

The set of sub-join low spaces (on some fixed set) is meet-

closed in the lattice of low spaces on a set.

Proof.

Let

f

,

g

be graphs of almost sub-join spaces (on some fixed set),

f

u

g

=

n

F

u

G

F

f,G

g

o

.

If

A

,

B ∈

f

u

g

and

A 6 B

, then

A

,

B ∈

f

and

A

,

B ∈

g

. Thus

A t B ∈

f

and

A t B ∈

g

and so

A t B ∈

f

u

g

.

Corollary

2328

.

The set of Cauchy spaces (on some fixed set), is meet-closed

in the lattice of low spaces on a set.

Proposition

2329

.

The set of completely almost sub-join spaces is meet-closed

in the lattice of low spaces on a set.

Proof.

Let

S

be a set of graphs of almost completely sub-join low spaces (on

some fixed set).

d

S

=

d

im

P

P

Q

X

S

X

.

If

A

,

B ∈

d

S

and

A 6 B

, then

A

,

B ∈

X

for every

X

S

. Thus

A t B ∈

X

and so

A t B ∈

d

S

.

Corollary

2330

.

The set of completely Cauchy spaces is meet-closed in the

lattice of low spaces on a set.

From the above it follows:

Obvious

2331

.

The following sets are complete lattices in our order:

1

. almost sub-join spaces, whose graphs are almost sub-join-semilattices;

2

. completely almost sub-join spaces;

3

. reflexive low spaces;

4

. precauchy spaces;