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6. LATTICES OF LOW SPACES

52

Definition

2317

.

A

transitive

low space is such low space

f

that (

RLD

)

Low

f

(

RLD

)

Low

f

= (

RLD

)

Low

f

.

Remark

2318

.

The composition (

RLD

)

Low

f

(

RLD

)

Low

f

may be inequal to

(

RLD

)

Low

µ

for all low spaces

µ

(exercise!). Thus usefulness of the concept of tran-

sitive low spaces is questionable.

Remark

2319

.

Every low space is “symmetric” in the sense that it corresponds

to a symmetric reloid.

Theorem

2320

.

(Low) is the upper adjoint of (

RLD

)

Low

.

Proof.

We will prove (Low)(

RLD

)

Low

f

w

f

and (

RLD

)

Low

(Low)

g

v

g

(that

(Low) and (

RLD

)

Low

are monotone is obvious).

Really:

GR(Low)(

RLD

)

Low

f

= GR(Low)

l

X ×

RLD

X

X ∈

GR

f

=

Y ∈

F

Ob(

f

)

Y ×

RLD

Y v

d

n

X ×

RLD

X

X ∈

GR

f

o

Y ∈

F

Ob(

f

)

Y ∈

GR

f

= GR

f

;

(

RLD

)

Low

(Low)

g

=

d

n

X ×

RLD

X

X ∈

GR(Low)

g

o

=

d

n

X ×

RLD

X

X ∈

F

(Ob

g

)

,

X ×

RLD

X v

g

o

v

g

.

Corollary

2321

.

1

. (

RLD

)

Low

d

S

=

d

h

(

RLD

)

Low

i

S

;

2

. (Low)

d

S

=

d

h

(Low)

i

S

.

Below it’s proved that (Low) and (

RLD

)

Low

can be restricted to completely

almost sub-join spaces and symmetrically transitive reloids. Thus they preserve
joins of (completely) almost sub-join spaces and meets of symmetrically transitive
reloids.

FiXme

: Check.

FiXme

: Move it to be below the definition.

6. Lattices of low spaces

Proposition

2322

.

µ

v

ν

⇔ ∀X ∈

GR

µ

∃Y ∈

GR

ν

:

X v Y

for low filter

spaces (on the same set

U

).

Proof.

.

µ

v

ν

GR

µ

GR

ν

⇒ ∀X ∈

GR

µ

∃Y ∈

GR

ν

:

X

=

Y ⇒ ∀X ∈

GR

µ

∃Y ∈

GR

ν

:

X v Y

.

. Let

∀X ∈

GR

µ

∃Y ∈

GR

ν

:

X v Y

. Take

X ∈

GR

µ

. Then

∃Y ∈

GR

ν

:

X v

Y

. Thus

X ∈

GR

ν

. So GR

µ

GR

ν

that is

µ

v

ν

.

Obvious

2323

.

1

. (

RLD

)

Low

is an order embedding.

2

. (Low) is an order homomorphism.

I will denote

d

,

d

,

t

,

u

the lattice operations on low spaces or graphs of low

spaces.

Proposition

2324

.

d

S

=

S

S

for every set

S

of graphs of low spaces on some

set.

Proof.

It’s enough to prove that there is a low space

µ

such that GR

µ

=

S

S

.

In other words, it’s enough to prove that

S

S

is a nonempty lower set, but that’s

obvious.

FiXme

: A little more detailed proof.