background image

4. CAUCHY SPACES

50

Definition

2294

.

Introduce an order on graphs of low spaces and on low

spaces:

C

v

D

C

D

and (

U,

C

)

v

(

U,

D

)

C

v

D

.

Obvious

2295

.

Every set of low spaces on some set is partially ordered.

3. Almost sub-join-semilattices

Definition

2296

.

For a join-semilattice

A

, a

almost sub-join-semilattice

is such

a set

S

P

A

, that if

F

,

G ∈

S

and

F 6 G

then

F t G ∈

S

.

Definition

2297

.

For a complete lattice

A

, a

completely almost sub-join-

semilattice

is such a set

S

P

A

, that if

d

T

6

=

F

(

X

)

then

d

T

S

for every

T

P

S

.

Obvious

2298

.

Every completely almost sub-join-semilattice is a almost sub-

join-semilattice.

4. Cauchy spaces

Definition

2299

.

A

reflexive

low space is a low space (

U,

C

) such that

x

U

:

U

{

x

} ∈

C

.

Definition

2300

.

The

identity

low space 1

Low(

U

)

on a set

U

is the low space

with graph

n

U

{

x

}

x

U

o

.

Obvious

2301

.

A low space

f

is reflexive iff

f

w

1

Low(Ob

f

)

.

Definition

2302

.

An almost sub-join space

is a low space whose graph is an

almost sub-join-semilattice. I will denote such spaces as

ASJ

.

Definition

2303

.

A completely almost sub-join space

is a low space whose

graph is a completely almost sub-join-semilattice. I will denote such spaces as

CASJ

.

Definition

2304

.

A

precauchy space

(aka

filter space

) is a reflexive low space.

I will denote such spaces as

preCau

.

Definition

2305

.

A

Cauchy space

is a precauchy space which is also an almost

sub-join space. I will denote such spaces as

Cau

.

Definition

2306

.

A

completely Cauchy space

is a precauchy space which is

also a completely almost sub-join space. I will denote such spaces as

CCau

.

Obvious

2307

.

Every completely Cauchy space is a Cauchy space.

Proposition

2308

.

a

t{

X ∈

C

X wF

}

b

=

a

t

b

for

a, b

n

X ∈

C

X wF

o

, provided that

F

is

a proper fixed Cauchy filter on an almost sub-join space.

Proof.

F

is proper. So we have

a

u

b

w F 6

=

F

(

X

)

. Thus

a

t

b

is a Cauchy

filter and so

a

t

b

n

X ∈

C

X wF

o

.

Proposition

2309

.

d

{

X ∈

C

X wF

}

S

=

d

S

for nonempty

S

P

n

X ∈

C

X wF

o

, provided

that

F

is a proper fixed Cauchy filter on a completely almost sub-join space.

Proof.

F

is proper. So for every nonempty

S

P

n

X ∈

C

X wF

o

we have

d

S

w

F 6

=

F

(

X

)

. Thus

d

S

is a Cauchy filter and so

d

S

n

X ∈

C

X wF

o

.

Corollary

2310

.

Every proper Cauchy filter is contained in a unique maximal

Cauchy filter (for completely almost sub-join spaces).