background image

CHAPTER 11

Cauchy Filters on Reloids

In this chapter I consider

low filters

on reloids, generalizing Cauchy filters on

uniform spaces. Using low filters, I define Cauchy-complete reloids, generalizing
complete uniform spaces.

FiXme

: I forgot to note that Cauchy spaces induce topological (or convergence)

spaces.

1. Preface

Replace

\langle ...\rangle

with

\supfun{...}

in L

A

TEX.

This is a preliminary partial draft.
To understand this article you need first look into my book [

2

].

http://math.stackexchange.com/questions/401989/

what-are-interesting-properties-of-totally-bounded-uniform-spaces

http://ncatlab.org/nlab/show/proximity+space#uniform_spaces

for a proof

sketch that proximities correspond to totally bounded uniformities.

2. Low spaces

FiXme

:

Analyze

http://link.springer.com/article/10.1007/s10474-011-0136-9

(“A

note

on

Cauchy

spaces”),

http://link.springer.com/article/10.1007/

BF00873992

(“Filter spaces”).

It also contains references to some useful re-

sults, including (“On continuity structures and spaces of mappings” freely
available at

https://eudml.org/doc/16128

that the category FIL of filter spaces is

isomorphic to the category of filter merotopic spaces (copy its definition).

Definition

2290

.

A

lower set

1

of filters on

U

(a set) is a set

C

of filters on

U

, such that if

G v F

and

F ∈

C

then

G ∈

C

.

Remark

2291

.

Note that we are particularly interested in nonempty (= con-

taining the improper filter) lower sets of filters. This does not match the traditional
theory of Cauchy spaces (see below) which are traditionally defined as not contain-
ing empty set. Allowing them to contain empty set has some advantages:

Meet of any lower filters is a lower filter.

Some formulas become a little simpler.

Definition

2292

.

I call

low space

a set together with a nonempty lower set of

filters on this set. Elements of a (given) low space are called

Cauchy filters

.

Definition

2293

.

GR(

U,

C

) =

C

; Ob(

U,

C

) =

U

. GR(

U,

C

) is read as

graph

of space (

U,

C

). I denote Low(

U

) the set of graphs of low spaces on the set

U

.

Similarly I will denote its subsets

ASJ

(

U

),

CASJ

(

U

),

Cau

(

U

),

CCau

(

U

) (see

below).

FiXme

: Should use “space structure” instead of “graph of space”, to match

customary terminology.

1

Remember that our orders on filters is the reverse to set theoretic inclusion. It could be

called an

upper

set in other sources.

49