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CHAPTER 10

Quasi-atoms

Definition

2285

.

Quasi-atoms

funcoid

A

is the funcoid

A

atoms

A

A

de-

fined by the formula

h

A

i

X

= atoms

A

X

.

This really defines a funcoid because atoms

A

=

and atoms

A

(

X

Y

) =

atoms

A

X

atoms

A

Y

.

Obvious

2286

.

A

is a co-complete funcoid.

Proposition

2287

.

A

1

Y

=

d

Y

.

Proof.

Y

6 h

A

i

X

Y

6

atoms

A

X

⇔ ∃

x

atoms

A

X, y

Y

:

x

6

y

y

Y

:

X

6

y

(because

X

is a principal filter)

X

6

d

Y

.

Note

h

A

i

X

=

d

F

X

up

X

atoms

A

X

;

A

1

Y

=

d

F

Y

up

Y

d

Y

(

Y

is filter on the set of ultrafilters).

Can atoms

A

X

be restored knowing

h

A

iX

? Can

d

Y

be restored knowing

A

1

X

?

Proposition

2288

.

(Provided that

A

is infinite)

A

is not complete.

Proof.

Take a nonprincipal ultrafilter

x

. Then

A

1

{

x

}

=

d

{

x

}

=

x

is a

nonprincipal filter.

Conjecture

2289

.

There is such filter

X

that

h

A

i

X

is non-principal.

Does quasi-atoms funcoid define a more elegant replacement of atoms

A

? Does

this concept have any use?

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