background image

CHAPTER 9

Backward Funcoids

This is a preliminary partial draft.
Fix a family

A

of posets.

Definition

2279

.

Let

f

be a staroid of filters

F

(

A

i

) on boolean lattices

A

i

.

Backward funcoid

for the argument

k

dom

A

of

f

is the funcoid Back(

f, k

) defined

by the formula (for every

X

A

k

)

h

Back(

f, k

)

i

X

=

L

Q

i

dom

A

F

(

A

i

)

X

∈ h

f

i

k

L

.

Proposition

2280

.

Backward funcoid is properly defined.

Proof.

h

Back(

f, k

)

i

(

X

t

Y

) =

L

Q

A

X

t

Y

∈h

f

i

k

L

=

L

Q

A

X

∈h

f

i

k

L

Y

∈h

f

i

k

L

=

L

Q

A

X

∈h

f

i

k

L

L

Q

A

Y

∈h

f

i

k

L

=

h

Back(

f, k

)

i

X

∪ h

Back(

f, k

)

i

Y

.

Obvious

2281

.

Backward funcoid is co-complete.

Proposition

2282

.

If

f

is a principal staroid then Back(

f, k

) is a complete

funcoid.

Proof.

??

Proposition

2283

.

f

can be restored from Back(

f, k

) (for every fixed

k

).

Proof.

??

Proposition

2284

.

f

7→

Back(

f, k

) is an order isomorphism

Strd

A

FCD

A

k

,

Strd

(dom

A

)

\{

k

}

.

Proof.

??

47