background image

3. CONCRETE EXAMPLES OF SIDES

43

Proposition

2241

.

1

Src Υ

A

a

=

a

for every system of presides.

Proof.

By properties of functors.

Definition

2242

.

I call a system of

monotone

presides a system of presides

with additional axiom:

1

.

h

a

i

is monotone.

Definition

2243

.

I call a system of

distributive

presides a system of presides

with additional axiom:

1

.

h

a

i

(

X

t

Y

) =

h

a

i

X

t h

a

i

Y

.

Obvious

2244

.

Every distributive system of presides is monotone.

Proposition

2245

.

h

a

u

b

i

X

v h

a

i

X

u h

b

i

X

for monotone systems of sides if

Hom-sets are lattices.

Definition

2246

.

A system of presides

with correct identities

is a system of

presides with identities with additional axiom:

1

. id

b

id

a

= id

a

u

b

.

Proposition

2247

.

Every faithful system of presides with identities is with

correct identities.

Proof.

h

id

b

id

a

i

x

= (

h

id

b

i ◦ h

id

a

i

)

x

=

h

id

b

ih

id

a

i

x

=

b

u

a

u

x

=

h

id

b

u

a

i

x

.

Thus by faithfulness id

b

id

a

= id

b

u

a

= id

a

u

b

.

Definition

2248

.

Restricting

a side

f

to an object

X

is defined by the formula

f

|

X

=

f

id

X

.

Definition

2249

.

Image

of a preside is defined by the formula im

f

=

h

f

i>

.

Definition

2250

.

Protofuncoids

over

a set

X

of functors is a protofuncoid

f

such that

h

f

i ∈

X

f

1

X

.

3. Concrete examples of sides

Obvious

2251

.

The category

Rel

with

h

f

i

=

h

f

i

for

f

Rel

and usual id

c

defines a distributive system of sides with correct identities.

3.1. Some subsides.

Definition

2252

.

Full subsystem

of a system Υ of presides is the functor Υ

restricted to a full subcategory of Src Υ.

Obvious

2253

.

Full subsystem of a system of presides is always a system of

presides.

Obvious

2254

.

Full subsystem of a bounded system of presides is always a

bounded subsystem of presides.

Obvious

2255

.

1

. Full subsystem of a system of presides with identities is always with iden-

tities.

2

. Full subsystem of a system of presides with correct identities is always

with correct identities.

Obvious

2256

.

Full subsystem of a distributive system of presides is always a

distributive system of presides.

Obvious

2257

.

Full subsystem of a system of sides is always a system of sides.