background image

CHAPTER 7

Filterization of pointfree funcoids

Let (

A

,

Z

0

) and (

B

,

Z

1

) be primary filtrators over boolean lattices. By corol-

lary 515 we have that

A

and

B

are complete lattices.

Let

f

be a pointfree funcoid

Z

0

Z

1

. Define pointfree funcoid

f

(

filterization

of

f

) by the formulas

h↑

f

iX

=

B

l

X

up

X

h

f

i

X

and

f

1

Y

=

A

l

Y

up

Y

f

1

Y.

Proposition

2224

.

f

is a pointfree funcoid.

Proof.

Y 6 h↑

f

iX ⇔ Y 6

B

l

X

up

X

h

f

i

X

B

l

X

up

X

(

Y u

B

h

f

i

X

)

6

=

⊥ ⇔

(corollary 570*)

X

up

X

:

Y u

B

h

f

i

X

6

=

⊥ ⇔

(theorem 534)

X

up

X

, Y

up

Y

:

Y

u

B

h

f

i

X

6

=

⊥ ⇔

(corollary 533)

X

up

X

, Y

up

Y

:

Y

u

Z

1

h

f

i

X

6

=

⊥ ⇔

X

up

X

, Y

up

Y

:

X

[

f

]

Y.

* To apply corollary 570 we need to show that

n

Yu

B

h

f

i

X

X

up

X

o

is a generalized

filter base. To show it is enough to show that

n

h

f

i

X

X

up

X

o

is a generalized filter base.

But this easily follows from proposition 1598 and 576.

Similarly

X 6

f

1

Y ⇔ ∀

X

up

X

, Y

up

Y

:

X

[

f

]

Y

. Thus

Y 6

h↑

f

iX ⇔ X 6

f

1

Y

.

Proposition

2225

.

The above defined

is an injection.

Proof.

h↑

f

i

X

=

d

B

X

0

up

X

h

f

i

X

0

= min

X

0

up

X

h

f

i

X

0

=

h

f

i

X

. So

h

f

i

is

determined by

h↑

f

i

. Likewise

f

1

is determined by

f

1

.

Conjecture

2226

.

(Non generalizing of theorem 1707) Pointfree funcoids

f

between some: a.

atomistic but non-complete; b.

complete but non-atomistic

boolean lattices

Z

0

and

Z

1

do not bijectively correspond to morphisms

p

Rel

(atoms

Z

0

,

atoms

Z

1

) by the formulas:

h

f

i

X

=

l

h

p

i

atoms

X,

f

1

Y

=

l

p

1

atoms

Y

;

(

x, y

)

GR

p

y

atoms

h

f

i

x

x

atoms

f

1

y.

40