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4. ABOUT INFINITE CASE

37

In other words,

pFCD

(

A

;

B

)

=

Q

i

card atoms

B

A

. Thus

pFCD

(

A

;

B

) is a boolean

lattice.

So finally we have a very weird theorem, which is a partial solution for the

above open problem (The weirdness is in its partiality and asymmetry):

Theorem

2216

.

If

A

is a complete boolean lattice and

B

is an atomistic

boolean lattice (or vice versa), then

pFCD

(

A

;

B

) is a boolean lattice.

[

4

proves “THEOREM 4.6. Let

A

,

B

be bounded posets.

A

B

is a com-

pletely distributive complete Boolean lattice iff

A

and

B

are completely distributive

Boolean lattices.” (where

A

B

is equivalent to the set of Galois connections be-

tween

A

and

B

) and other interesting results.