background image

6. INTEGRAL CURVES

32

Definition

2199

.

R

(

y

) =

R

0

(

y

)

u

R

1

(

y

)

u

R

2

(

y

)

u

. . .

.

FiXme

: It does not work:

https://math.stackexchange.com/a/2978532/4876

.

Definition

2200

.

W

n

(

y

) =

R

n

(

y

)

u

d

RLD

r>

0

B

r

(0);

W

(

y

) =

R

(

y

)

u

d

RLD

r>

0

B

r

(0).

Finally our funcoids are the complete funcoids

Q

n

+

and

Q

n

described by the

formulas

Q

n

+

@

{

p

}

=

h

p

+

i

W

n

(

p

)

and

Q

n

@

{

p

}

=

h

p

+

i

W

n

(

p

)

where

W

is

W

for the reverse vector field

d

(

y

).

FiXme

: Related questions:

http://math.stackexchange.com/q/1884856/4876

http://math.stackexchange.com/q/107460/4876 http://mathoverflow.net/q/88501

Lemma

2201

.

Let for every

x

in the domain of the path for small

t >

0 we

have

f

(

x

+

t

)

R

n

(

F

(

f

(

x

))) and

f

(

x

t

)

R

n

(

F

(

f

(

x

))). Then

f

is

C

n

smooth.

Proof.

FiXme

: Not yet proved!

See also

http://math.stackexchange.com/q/1884930/4876

.

Conjecture

2202

.

A path

f

is conforming to the above differentiable equa-

tion and

C

n

(where

n

is natural or infinite) smooth iff

f

C(

ι

D

|

R

|

>

, Q

n

+

)

C(

ι

D

|

R

|

<

, Q

n

).

Proof.

Reverse implication follows from the lemma.

Let now a path

f

is

C

n

. Then

f

(

x

+

t

) =

n

X

i

=0

f

(

i

)

(

x

)

t

i

i

!

+

o

(

t

i

) =

f

(

x

) +

f

0

(

x

)

t

+

n

X

i

=2

f

(

i

)

(

x

)

t

i

i

!

+

o

(

t

i

)

6.5. Plural funcoids.

Take

I

+

and

Q

+

as described above in forward direc-

tion and

I

and

Q

in backward direction. Then

f

C(

I

+

, Q

+

)

f

C(

I

, Q

)

f

×

f

C(

I

+

×

(

A

)

I

, Q

+

×

(

A

)

Q

)?

To describe the above we can introduce new term

plural funcoids

.

This is

simply a map from an index set to funcoids. Composition is defined component-
wise. Order is defined as product order. Well, do we need this? Isn’t it the same
as infimum product of funcoids?

6.6. Multiple allowed directions per point.

h

Q

i

@

{

p

}

=

l

d

d

(

p

)

h

p

+

i

W

(

d

)

.

It seems (check!) that solutions not only of differential equations but also of

difference equations can be expressed as paths in funcoids.