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6. INTEGRAL CURVES

31

Definition

2196

.

W

(

d

) =

d

RLD

n

R

(

d,φ

)

φ

R

,φ>

0

o

u

d

RLD

r>

0

B

r

(0).

FiXme

: This is

defined for infinite dimensional case.

FiXme

: Consider also

FCD

instead of

RLD

.

Proposition

2197

.

For finite dimensional case

R

n

we have

W

(

d

)

=

d

RLD

n

R

(

d,φ

)

φ

R

,φ>

0

o

u

(

RLD

)

n

where

(

RLD

)

n

= ∆

×

RLD

· · · ×

RLD

|

{z

}

n

times

.

Proof.

??

Finally our funcoids are the complete funcoids

Q

+

and

Q

described by the

formulas

h

Q

+

i

@

{

p

}

=

h

p

+

i

W

(

d

(

p

))

and

h

Q

i

@

{

p

}

=

h

p

+

i

W

(

d

(

p

))

.

Here ∆ is taken from the “counter-examples” section.

In other words,

Q

+

=

l

p

R

(@

{

p

} ×

FCD

h

p

+

i

W

(

d

(

p

)));

Q

=

l

p

R

(@

{

p

} ×

FCD

h

p

+

i

W

(

d

(

p

)))

.

That is

h

Q

+

i

@

{

p

}

and

h

Q

i

@

{

p

}

are something like infinitely small spherical

sectors (with infinitely small aperture and infinitely small radius).

FiXme

: Describe the co-complete funcoids reverse to these complete funcoids.

Theorem

2198

.

A

D

1

curve

f

is an reparametrized integral curve for a direc-

tion field

d

iff

f

C(

ι

D

|

R

|

>

, Q

+

)

C(

ι

D

|

R

|

<

, Q

).

Proof.

Equivalently transform

f

C(

ι

D

|

R

|

, Q

+

);

f

ι

D

|

R

| v

Q

+

f

;

h

f

ι

D

|

R

|i

@

{

t

} v h

Q

+

f

i

@

{

t

}

;

h

f

i

>

(

t

)

u

D

v h

Q

+

i

f

(

t

);

h

f

i

>

(

t

)

v

h

Q

+

i

f

(

t

);

h

f

i

>

(

t

)

v

f

(

t

) +

W

(

D

(

f

(

t

)));

h

f

i

>

(

t

)

f

(

t

)

v

W

(

D

(

f

(

t

)));

r >

0

, φ >

0

δ >

0 :

h

f

i

(]

t

;

t

+

δ

[)

f

(

t

)

R

(

d

(

f

(

t

))

, φ

)

B

r

(

f

(

t

));

r >

0

, φ >

0

δ >

0

0

< γ < δ

:

h

f

i

(]

t

;

t

+

γ

[)

f

(

t

)

R

(

d

(

f

(

t

))

, φ

)

B

r

(

f

(

t

));

r >

0

, φ >

0

δ >

0

0

< γ < δ

:

h

f

i

(]

t

;

t

+

γ

[)

f

(

t

)

γ

R

(

d

(

f

(

t

))

, φ

)

B

r/δ

(

f

(

t

));

r >

0

, φ >

0

δ >

0 :

+

f

(

t

)

R

(

d

(

f

(

t

))

, φ

)

B

r/δ

(

f

(

t

));

r >

0

, φ >

0 :

+

f

(

t

)

R

(

d

(

f

(

t

))

, φ

);

+

f

(

t

)

d

(

f

(

t

))

where

+

is the right derivative.

In the same way we derive that C(

|

R

|

<

, Q

)

f

(

t

)

d

(

f

(

t

)).

Thus

f

0

(

t

)

d

(

f

(

t

)) iff

f

C(

|

R

|

>

, Q

+

)

C(

|

R

|

<

, Q

).

6.4.

C

n

curves.

We consider the differential equation

f

0

(

t

) =

d

(

f

(

t

)).

We can consider this equation in any topological vector space

V

(

https://en.

wikipedia.org/wiki/Frechet_derivative

), see also

https://math.stackexchange.com/

q/2977274/4876

Note that I am not an expert in topological vector spaces and

thus my naive generalizations may be wrong in details.

n

-th derivative

f

(

n

)

(

t

) =

d

n

(

f

(

t

));

f

(

n

+1)

(

t

) =

d

0

n

(

f

(

t

))

f

0

(

t

) =

d

0

n

(

f

(

t

))

d

(

f

(

t

)). So

d

n

+1

(

y

) =

d

0

n

(

y

)

d

(

y

).

Given a point

y

V

define

R

n

(

y

) =

v

V

\

vd

0

(

y

)

<

d

1

1!

(

y

)

|

v

|

+

d

2

(

y

)

2!

|

v

|

2

+

· · ·

+

d

n

1

(

y

)

(

n

1)!

|

v

|

n

1

+

O

(

|

v

|

n

)

, v

6

= 0

for

d

0

(

y

)

6

= 0 and

R

n

=

{

0

}

if

d

0

(

y

) = 0.