background image

6. INTEGRAL CURVES

30

Definition

2191

.

Vectors

p

and

q

have the

same direction

(

p

q

) iff there

exists a strictly positive real

c

such that

p

=

cq

.

Obvious

2192

.

Being same direction is an equivalence relation.

Obvious

2193

.

The only vector with the same direction as the zero vector is

zero vector.

Theorem

2194

.

A

D

1

function

y

is some reparameterization of a

D

1

integral

curve

x

of a continuous vector field

d

iff

y

0

(

t

)

d

(

y

(

t

)) that is vectors

y

0

(

t

) and

d

(

y

(

t

)) have the same direction (for every

t

).

Proof.

If

y

is a reparameterization of

x

, then

y

(

t

) =

x

(

φ

(

t

)). Thus

y

0

(

t

) =

x

0

(

φ

(

t

))

φ

0

(

t

) =

d

(

x

(

φ

(

t

)))

φ

0

(

t

) =

d

(

y

(

t

))

φ

0

(

t

). So

y

0

(

t

)

d

(

y

(

t

)) because

φ

0

(

t

)

>

0.

Let now

x

0

(

t

)

d

(

x

(

t

)) that is that is there is a strictly positive function

c

(

t

)

such that

x

0

(

t

) =

c

(

t

)

d

(

x

(

t

)).

If

x

0

(

t

) is zero everywhere, then

d

(

x

(

t

)) = 0 and thus

x

0

(

t

) =

d

(

x

(

t

)) that is

x

is an Integral curve. Note that

y

is a reparameterization of itself.

We can assume that

x

0

(

t

)

6

= 0 everywhere. Then

F

(

x

(

t

))

6

= 0. We have that

c

(

t

) =

||

x

0

(

t

)

||

||

d

(

x

(

t

))

||

is a continuous function.

FiXme

: Does it work for non-normed

spaces?

Let

y

(

u

(

t

)) =

x

(

t

), where

u

(

t

) =

Z

t

0

c

(

s

)

ds,

which is defined and finite because

c

is continuous and monotone (thus having

inverse defined on its image) because

c

is positive.

Then

y

0

(

u

(

t

))

u

0

(

t

) =

x

0

(

t

)

=

c

(

t

)

d

(

x

(

t

)), so

y

0

(

u

(

t

))

c

(

t

) =

c

(

t

)

d

(

y

(

u

(

t

)))

y

0

(

u

(

t

)) =

d

(

y

(

u

(

t

)))

and letting

s

=

u

(

t

) we have

y

0

(

s

) =

d

(

y

(

s

)) for a reparameterization

y

of

x

.

6.2. Vector space with additional coordinate.

Consider the normed vec-

tor space with additional coordinate

t

.

Our vector field

d

(

t

) induces vector field ˆ

d

(

t, v

) = (1

, d

(

v

)) in this space. Also

ˆ

f

(

t

) = (

t, f

(

t

)).

Proposition

2195

.

Let

f

be a

D

1

function.

f

is an integral curve of

d

iff ˆ

f

is

a reparametrized integral curve of ˆ

d

.

Proof.

First note that ˆ

f

always has a nonzero derivative. ˆ

f

0

(

t

)

ˆ

d

( ˆ

f

(

t

))

(1

, f

0

(

t

))

(1

, d

(

f

(

t

)))

f

0

(

t

) =

d

(

f

(

t

)).

Thus we have reduced (for

D

1

paths) being an integral curve to being a

reparametrized integral curve. We will also describe being a reparametrized in-
tegral curve topologically (through funcoids).

6.3. Topological description of

C

1

curves.

Explicitly construct this fun-

coid as follows:

R

(

d, φ

) =

n

v

V

b

vd<φ,v

6

=0

o

for

d

6

= 0 and

R

(0

, φ

) =

{

0

}

, where

b

ab

is the angle

between the vectors

a

and

b

, for a direction

d

and an angle

φ

.