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6. INTEGRAL CURVES

29

Conjecture

2183

.

A d-path

a

is determined by the funcoids (where

x

spans

[0; 1])

(

λt

R

:

a

(

x

+

t

))

|

∆(0)

.

5. A way to construct directed topological spaces

I propose a new way to construct a directed topological space. My way is more

geometric/topological as it does not involve dealing with particular paths.

Conjecture

2184

.

Every directed topological space can be constructed in the

below described way.

Consider topological space

T

and its subfuncoid

F

(that is

F

is a funcoid

which is less that

T

in the order of funcoids). Note that in our consideration

F

is

an endofuncoid (its source and destination are the same).

Then a directed path from point

A

to point

B

is defined as a continuous function

f

from [0; 1] to

F

such that

f

(0) =

A

and

f

(1) =

B

.

FiXme

: Specify whether the

interval [0; 1] is treated as a proximity, pretopology, or preclosure.

Because

F

is less that

T

, we have that every directed path is a path.

Conjecture

2185

.

The two directed topological spaces, constructed from a

fixed topological space and two different funcoids, are different.

For a counter-example of (which of the two?) the conjecture consider funcoid

T

u

(

Q

×

FCD

Q

) where

T

is the usual topology on real line.We need to consider

stability of existence and uniqueness of a path under transformations of our funcoid
and under transformations of the vector field. Can this be a step to solve Navier-
Stokes existence and smoothness problems?

6. Integral curves

We will consider paths in a normed vector space

V

.

Definition

2186

.

Let

D

be a connected subset of

R

. A

path

is a function

D

V

.

Let

d

be a vector field in a normed vector space

V

.

Definition

2187

.

Integral curve

of a vector field

d

is a differentiable function

f

:

D

V

such that

f

0

(

t

) =

d

(

f

(

t

)) for every

t

D

.

Definition

2188

.

The definition of

right side integral curve

is the above defi-

nition with right derivative of

f

instead of derivative

f

0

.

Left side integral curve

is

defined similarly.

6.1. Path reparameterization.

C

1

is a function which has continuous de-

rivative on every point of the domain.

By

D

1

I will denote a

C

1

function whose derivative is either nonzero at every

point or is zero everywhere.

Definition

2189

.

A

reparameterization

of a

C

1

path is a bijective

C

1

function

φ

:

D

D

such that

φ

0

(

t

)

>

0. A curve

f

2

is called a reparametrized curve

f

1

if

there is a reparameterization

φ

such that

f

2

=

f

1

φ

.

It is well known that this defines an equivalence relation of functions.

Proposition

2190

.

Reparameterization of

D

1

function is

D

1

.

Proof.

If the function has zero derivative, it is obvious.

Let

f

1

has everywhere nonzero derivative. Then

f

0

2

(

t

) =

f

0

1

(

φ

(

t

))

φ

0

(

t

) what is

trivially nonzero.