background image

4. CONTINUITY

28

4.1. Directed topological spaces.

Directed topological spaces are defined

at

http://ncatlab.org/nlab/show/directed+topological+space

Definition

2178

.

A

directed topological space

(or

d-space

for short) is a pair

(

X, d

) of a topological space

X

and a set

d

C([0; 1]

, X

) (called

directed paths

or

d-paths

) of paths in

X

such that

1

. (constant paths) every constant map [0; 1]

X

is directed;

2

. (reparameterization)

d

is closed under composition with increasing con-

tinuous maps [0; 1]

[0; 1];

3

. (concatenation)

d

is closed under path-concatenation: if the d-paths

a

,

b

are consecutive in

X

(

a

(1) =

b

(0)), then their ordinary concatenation

a

+

b

is also a d-path

(

a

+

b

)(

t

) =

a

(2

t

)

,

if 0

t

1

2

,

(

a

+

b

)(

t

) =

b

(2

t

1)

,

if

1

2

t

1

.

I propose a new way to construct a directed topological space. My way is more

geometric/topological as it does not involve dealing with particular paths.

Definition

2179

.

Let

T

be the complete endofuncoid corresponding to a topo-

logical space and

ν

v

T

be its “subfuncoid”. The d-space (dir)(

T, ν

) induced by

the pair (

T, ν

) consists of

T

and paths

f

C([0; 1]

, T

)

C(

|

[0; 1]

|

, ν

) such that

f

(0) =

f

(1).

Proposition

2180

.

It is really a d-space.

Proof.

Every d-path is continuous.

Constant path are d-paths because

ν

is reflexive.

Every reparameterization is a d-path because they are C(

|

[0; 1]

|

, ν

) and we

can apply the theorem about composition of continuous functions.

Every concatenation is a d-path. Denote

f

0

=

λt

[0;

1
2

] :

a

(2

t

) and

f

1

=

λt

[

1
2

; 1] :

b

(2

t

1). Obviously

f

0

, f

1

C([0; 1]

, µ

)

C(

|

[0; 1]

|

, ν

). Then we conclude

that

a

+

b

=

f

1

t

f

1

is in

f

0

, f

1

C([0; 1]

, µ

)

C(

|

[0; 1]

|

, ν

) using the fact that the

operation

is distributive over

t

.

Below we show that not every d-space is induced by a pair of an endofuncoid

and its subfuncoid. But are d-spaces not represented this way good anything except
counterexamples?

Let now we have a d-space (

X, d

). Define funcoid

ν

corresponding to the d-

space by the formula

ν

=

d

a

d

(

a

◦ |

R

|

a

1

).

Example

2181

.

The two directed topological spaces, constructed from a fixed

topological space and two different reflexive funcoids, are the same.

Proof.

Consider the indiscrete topology

T

on

R

and the funcoids 1

FCD

(

R

,

R

)

and 1

FCD

(

R

,

R

)

t

(

{

0

} ×

FCD

). The only d-paths in both these settings are constant

functions.

Example

2182

.

A d-space is not determined by the induced funcoid.

Proof.

The following a d-space induces the same funcoid as the d-space of all

paths on the plane.

Consider a plane

R

2

with the usual topology. Let d-paths be paths lying inside

a polygonal chain (in the plane).