4. CONTINUITY

26

x

is an ultrafilter at the right of some number

α

.

h|

R

|i

x

=

d

X

up

x

d

y

X

u

]

α

;+

[

∆(

y

)

v

]

α

; +

[=

h≥i

x

because

d

y

X

u

]

α

;+

[

∆(

y

)

v

]

α

; +

[.

x

is an ultrafilter at the left of some number

α

.

h|

R

|i

x

v

∆(

α

) is obvious. But

h≥i

x

w

∆(

α

).

x

is an ultrafilter at positive infinity.

h|

R

|i

x

v

+

is obvious. But

h≥i

x

= ∆

+

.

x

is an ultrafilter at negative infinity.

Because

h≥i

x

=

R

.

Corollary

2169

.

h|

R

|u ≥i

x

=

h|

R

|i

x

for every nontrivial ultrafilter

x

.

Proof.

h|

R

|u ≥i

x

=

h|

R

|i u h≥i

x

=

h|

R

|i

x

.

So

h|

R

|u ≥i

and

h|

R

|i

agree on all ultrafilters except trivial ones.

Proposition

2170

.

|

R

|

>

u

>

=

|

R

|

>

u ≥

=

|

R

|

>

.

Proof.

|

R

|

>

v

>

because

h|

R

|

>

i

x

v h

>

i

x

and

|

R

|

>

is a complete funcoid.

Lemma

2171

.

h|

R

|

>

i

x

@

h|

R

|

i

x

for a nontrivial ultrafilter

x

.

Proof.

It enough to prove

h|

R

|

>

i

x

6

=

h|

R

|

i

x

.

Take

x

be an ultrafilter with limit point 0 on im

z

where

z

is the sequence

n

7→

1

n

.

h|

R

|

>

i

x

v h|

R

|

>

i

im

z

=

l

n

im

z

>

1

n

v

l

n

im

z

1

n

;

1

n

1

1

n

im

z.

Thus

h|

R

|

>

i

x

im

z

. But

h|

R

|

i

x

v h

=

i

x

6

im

z

.

Corollary

2172

.

|

R

|

>

@

|

R

|

.

Proposition

2173

.

|

R

|

>

@

|

R

|

u

>

.

Proof.

It’s enough to prove

|

R

|

>

6

=

|

R

|

u

>

.

Really,

h|

R

|

u

>

i

x

=

h|

R

|

i

x

6

=

h|

R

|

>

i

x

(lemma).

Proposition

2174

.

1

.

|

R

|

◦ |

R

|

=

|

R

|

;

2

.

|

R

|

>

◦ |

R

|

>

=

|

R

|

>

;

3

.

|

R

|

◦ |

R

|

>

=

|

R

|

>

;

4

.

|

R

|

>

◦ |

R

|

=

|

R

|

>

.

Proof.

??

Conjecture

2175

.

1

. (

|

R

| u ≥

)

(

|

R

| u ≥

) =

|

R

| u ≥

.

2

. (

|

R

| u

>

)

(

|

R

| u

>

) =

|

R

| u

>

.

4. Continuity

I will say that a property holds on a filter

A

iff there is

A

up

A

on which the

property holds.

FiXme

:

f

C(

A, B

)

f

C(

ι

A

|

R

|

, ι

B

|

R

|

)

(

f, f

)

C((

A, ι

A

|

R

|

)

,

(

B, ι

B

|

R

|

))

Lemma

2176

.

Let function

f

:

A

B

where

A, B

P

R

and

A

is connected.