background image

CHAPTER 3

Applications of algebraic general topology

1. “Hybrid” objects

Algebraic general topology allows to construct “hybrid” objects of “continuous”

(as topological spaces) and discrete (as graphs).

Consider for example

D

t

T

where

D

is a digraph and

T

is a topological space.

The

n

-th power (

D

t

T

)

n

yields an expression with 2

n

terms. So treating

D

t

T

as one object (what becomes possible using algebraic general topology) rather than
the join of two objects may have an exponential benefit for simplicity of formulas.

2. A way to construct directed topological spaces

2.1. Some notation.

I use

E

and

ι

notations from

volume-2.pdf

.

FiXme

:

Reorder document fragments to describe it before use.

I remind that

f

|

X

=

f

id

X

for binary relations, funcoids, and reloid.

f

k

X

=

f

(

E

X

)

1

.

f

X

= id

X

f

id

1

X

.

As proved in

volume-2.pdf

, the following are bijections and moreover isomor-

phisms (for

R

being either funcoids or reloids or binary relations):

1

.

n

(

f

|

X

,f

k

X

)

f

R

o

;

2

.

n

(

f

X,ι

X

f

)

f

R

o

.

As easily follows from these isomorphisms and theorem 1285:

Proposition

2156

.

For funcoids, reloids, and binary relations:

1

.

f

C(

µ, ν

)

f

k

A

C(

ι

A

µ, ν

);

2

.

f

C

0

(

µ, ν

)

f

k

A

C

0

(

ι

A

µ, ν

);

3

.

f

C

00

(

µ, ν

)

f

k

A

C

00

(

ι

A

µ, ν

).

2.2. Directed line and directed intervals.

Let

A

be a poset. We will

denote

A

=

A

∪ {−∞

,

+

∞}

the poset with two added elements

−∞

and +

, such

that +

is strictly greater than every element of

A

and

−∞

is strictly less.

FiXme

: Generalize from

R

to a wider class of posets.

Definition

2157

.

For an element

a

of a poset

A

1

.

J

(

a

) =

n

x

A

x

a

o

;

2

.

J

>

(

a

) =

x

A

x>a

 

;

3

.

J

(

a

) =

n

x

A

x

a

o

;

4

.

J

<

(

a

) =

x

A

x<a

 

;

5

.

J

6

=

(

a

) =

n

x

A

x

6

=

a

o

.

Definition

2158

.

Let

a

be an element of a poset

A

.

1

. ∆(

a

) =

d

F

n

]

x

;

y

[

x,y

A

,x<a

y>a

o

;

2

. ∆

(

a

) =

d

F

n

[

a

;

y

[

y

A

,y>a

o

;

23