 7. EXAMPLES OF CATEGORIES WITH RESTRICTED IDENTITIES

17

7. Examples of categories with restricted identities

7.1. Category Rel.

Category

Rel

of relations between small sets can be

considered as a category with restricted identities with

Z

=

A

being the set of all

small sets, projection being the identity function and restricted identity being the
identity relation between the given sets.

Moreover it is a category with binary product morphism with usual Cartesian

product (??prove).

Proofs of this are trivial.

7.2. Category

FCD

.

FiXme

: It is

FCD

, not

C

.

Category

FCD

can be considered as a category with restricted identities with

Z

being the set of all small sets,

A

is the set of unfixed filters, projection being the

projection function for the equivalence classes of filters, restricted identity being
defined by the formulas

D

id

C

(

A,B

)

F

E

X

= ([

X

]

u F

)

÷

B

;

D

(id

C

(

A,B

)

F

)

1

E

Y

= ([

Y

]

u F

)

÷

A

(whenever

F v

[

A

]

u

[

B

]).

We need to prove that this really defines a funcoid.

Proof.

Y 6

D

id

C

(

A,B

)

F

E

X ⇔ Y 6

([

X

]

u F

)

÷

B

⇔ Y 6

(

X ÷

B

)

u

(

F ÷

B

)

[

Y

]

6

[

X

]

u F

. Similarly

D

(id

C

(

A,B

)

F

)

1

E

Y ⇔

[

X

]

6

[

Y

]

u F

.

Thus

Y 6

D

id

C

(

A,B

)

F

E

X ⇔ X 6

D

(id

C

(

A,B

)

F

)

1

E

Y

.

We need to prove that the restricted identities conform to the axioms:

Proof.

The first five

axioms

are obvious. Let’s prove the remaining ones:

id

C

(

A,A

)

[

A

]

= 1

C

A

because

D

id

C

(

A,A

)

[

A

]

E

X

= ([

X

]

u

[

A

])

÷

A

= [

X

]

÷

A

=

X

.

id

C

(

B,C

)

Y

id

C

(

A,B

)

X

=

id

C

(

A,C

)

X

u

Y

because

D

id

C

(

B,C

)

Y

id

C

(

A,B

)

X

E

X

=

D

id

C

(

B,C

)

Y

ED

id

C

(

A,B

)

X

E

X

=

D

id

C

(

B,C

)

Y

E

(([

X

]

u

X

)

÷

B

) = ([([

X

]

u

X

)

÷

B

]

u

Y

)

÷

C

=

(([

X

]

u

X

u

Y

)

÷

B

)

÷

C

= (because [

X

]

u

X

u

Y

v

[

B

]) = ([

X

]

u

X

u

Y

)

÷

C

=

D

id

C

(

A,C

)

X

u

Y

E

X

.

A

A

B

Z

:

A

v

[

B

] is obvious.

Proposition

2128

.

E

A,B

FCD

= (

A, B, λ

X ∈

F

(

A

) :

X ÷

B, λ

Y ∈

F

(

B

) :

Y ÷

A

)

for objects

A

B

of

FCD

.

Proof.

Take

F

= [

A

]

u

[

B

]. Then

F w

[

X

] and

F w

[

Y

], thus [

X

]

u F

= [

X

]

and [

Y

]

u F

= [

Y

]. So, it follows from the above.

Proposition

2129

.

id

FCD

(

A,A

)

X

= id

FCD

X

÷

A

whenever

A

Z

and

A

3

X

v

[

A

].

Proof.

D

id

FCD

(

A,A

)

X

E

X

= ([

X

]

u

X

)

÷

A

= ([

X

]

÷

A

)

u

(

X

÷

A

) =

X u

(

X

÷

A

) =

D

id

FCD

X

÷

A

E

X

(used bijections for unfixed filters) for every

X ∈

F

(

A

).

Definition

2130

.

Category

FCD

can be considered as a category with binary

product morphism with the binary product defined as:

X ×

A,B

Y

= (

X ÷

A

)

×

FCD

(

Y ÷

B

) for every unfixed filters

X

and

Y

.

It is really a binary product morphism:

Proof.

Need to prove the axioms: