background image

7. EXAMPLES OF CATEGORIES WITH RESTRICTED IDENTITIES

17

7. Examples of categories with restricted identities

7.1. Category Rel.

Category

Rel

of relations between small sets can be

considered as a category with restricted identities with

Z

=

A

being the set of all

small sets, projection being the identity function and restricted identity being the
identity relation between the given sets.

Moreover it is a category with binary product morphism with usual Cartesian

product (??prove).

Proofs of this are trivial.

7.2. Category

FCD

.

FiXme

: It is

FCD

, not

C

.

Category

FCD

can be considered as a category with restricted identities with

Z

being the set of all small sets,

A

is the set of unfixed filters, projection being the

projection function for the equivalence classes of filters, restricted identity being
defined by the formulas

D

id

C

(

A,B

)

F

E

X

= ([

X

]

u F

)

÷

B

;

D

(id

C

(

A,B

)

F

)

1

E

Y

= ([

Y

]

u F

)

÷

A

(whenever

F v

[

A

]

u

[

B

]).

We need to prove that this really defines a funcoid.

Proof.

Y 6

D

id

C

(

A,B

)

F

E

X ⇔ Y 6

([

X

]

u F

)

÷

B

⇔ Y 6

(

X ÷

B

)

u

(

F ÷

B

)

[

Y

]

6

[

X

]

u F

. Similarly

D

(id

C

(

A,B

)

F

)

1

E

Y ⇔

[

X

]

6

[

Y

]

u F

.

Thus

Y 6

D

id

C

(

A,B

)

F

E

X ⇔ X 6

D

(id

C

(

A,B

)

F

)

1

E

Y

.

We need to prove that the restricted identities conform to the axioms:

Proof.

The first five

axioms

are obvious. Let’s prove the remaining ones:

id

C

(

A,A

)

[

A

]

= 1

C

A

because

D

id

C

(

A,A

)

[

A

]

E

X

= ([

X

]

u

[

A

])

÷

A

= [

X

]

÷

A

=

X

.

id

C

(

B,C

)

Y

id

C

(

A,B

)

X

=

id

C

(

A,C

)

X

u

Y

because

D

id

C

(

B,C

)

Y

id

C

(

A,B

)

X

E

X

=

D

id

C

(

B,C

)

Y

ED

id

C

(

A,B

)

X

E

X

=

D

id

C

(

B,C

)

Y

E

(([

X

]

u

X

)

÷

B

) = ([([

X

]

u

X

)

÷

B

]

u

Y

)

÷

C

=

(([

X

]

u

X

u

Y

)

÷

B

)

÷

C

= (because [

X

]

u

X

u

Y

v

[

B

]) = ([

X

]

u

X

u

Y

)

÷

C

=

D

id

C

(

A,C

)

X

u

Y

E

X

.

A

A

B

Z

:

A

v

[

B

] is obvious.

Proposition

2128

.

E

A,B

FCD

= (

A, B, λ

X ∈

F

(

A

) :

X ÷

B, λ

Y ∈

F

(

B

) :

Y ÷

A

)

for objects

A

B

of

FCD

.

Proof.

Take

F

= [

A

]

u

[

B

]. Then

F w

[

X

] and

F w

[

Y

], thus [

X

]

u F

= [

X

]

and [

Y

]

u F

= [

Y

]. So, it follows from the above.

Proposition

2129

.

id

FCD

(

A,A

)

X

= id

FCD

X

÷

A

whenever

A

Z

and

A

3

X

v

[

A

].

Proof.

D

id

FCD

(

A,A

)

X

E

X

= ([

X

]

u

X

)

÷

A

= ([

X

]

÷

A

)

u

(

X

÷

A

) =

X u

(

X

÷

A

) =

D

id

FCD

X

÷

A

E

X

(used bijections for unfixed filters) for every

X ∈

F

(

A

).

Definition

2130

.

Category

FCD

can be considered as a category with binary

product morphism with the binary product defined as:

X ×

A,B

Y

= (

X ÷

A

)

×

FCD

(

Y ÷

B

) for every unfixed filters

X

and

Y

.

It is really a binary product morphism:

Proof.

Need to prove the axioms: