background image

6. OPERATIONS ON THE SET OF UNFIXED MORPHISMS

14

1

. If every Hom-set is a join-semilattice, then the poset of unfixed morphism

is a join-semilattice.

2

. If every Hom-set is a join-semilattice, then the poset of unfixed morphism

is a meet-semilattice.

Proof.

Let

f

and

g

be arbitrary morphisms.

[

f

]

t

[

g

] = [

ι

Src

f

t

Src

g,

Dst

f

t

Dst

g

f

]

t

[

ι

Src

f

t

Src

g,

Dst

f

t

Dst

g

g

] =

(obvious

2106

= [

ι

Src

f

t

Src

g,

Dst

f

t

Dst

g

f

t

ι

Src

f

t

Src

g,

Dst

f

t

Dst

g

g

]

and

[

f

]

u

[

g

] = [

ι

Src

f

t

Src

g,

Dst

f

t

Dst

g

f

]

u

[

ι

Src

f

t

Src

g,

Dst

f

t

Dst

g

g

] =

(obvious

2106

= [

ι

Src

f

t

Src

g,

Dst

f

t

Dst

g

f

u

ι

Src

f

t

Src

g,

Dst

f

t

Dst

g

g

]

.

Corollary

2109

.

If every Hom-set is a lattice, then the poset of unfixed

morphisms is a lattice.

Theorem

2110

.

Meet of nonempty set of unfixed morphisms exists provided

that the orders of Hom-sets are posets, every nonempty subset of which has a
meet, and our category is with ordered domain and image and that morphisms

E

are metamonovalued and metainjective.

Proof.

Let

S

be a nonempty set of unfixed morphisms. Take an arbitrary

unfixed morphism

f

S

. Take an arbitrary

F

f

. Let

A

= Src

F

and

B

= Dst

F

.

d

S

=

d

h

f

ui

S

=

d

h

[

F

]

ui

S

=

d

n

[

F

]

u

[

G

]

g

S,G

g

o

=

d

n

[

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

F

u

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

G

]

g

S,G

g

o

We will prove

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

F

u

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

G

F

u

ι

A,B

G

.

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

F

u

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

G

v

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

F

and

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

ι

A,B

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

F

=

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

F

, thus by being with

ordered domain and image

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

F

u

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

G

=

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

ι

A,B

(

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

F

u

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

G

) =

(by being metamonovalued and metainjective) =

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

(

ι

A,B

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

F

u

ι

A,B

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

G

) =

ι

A

t

Src

G,B

t

Dst

G

(

ι

A,B

F

u

ι

A,B

G

)

ι

A,B

F

u

ι

A,B

G

=

F

u

ι

A,B

G.

Due the proved equivalence we have

d

S

=

d

n

[

F

u

ι

A,B

G

]

g

S,G

g

o

. Now we can apply

proposition

2107

:

d

S

=

h

d

n

F

u

ι

A,B

G

g

S,G

g

oi

. We have provided an explicit formula

for

d

S

.

The poset of unfixed morphisms may be not a complete lattice even if every

Hom-set is a complete lattice. We will show this below for funcoids.

6.4. Domain and image of unfixed morphisms.

Proposition

2111

.

IM

f

=

n

Y

Z

id

Y

[

f

]=[

f

]

o

; DOM

f

=

n

X

Z

[

f

]

id

X

=[

f

]

o

.

Proof.

We will prove only the first, as the second is similar. id

Y

[

f

] = [

f

]

id

C

(

Y

t

Dst

f,Y

t

Dst

f

)

Y

◦E

Dst

f,Y

t

Dst

f

f

=

E

Dst

f,Y

t

Dst

f

f

id

C

(Dst

f,Y

t

Dst

f

)

[

Y

]

u

[Dst

f

]

f

=

E

Dst

f,Y

t

Dst

f

f

⇔ E

Y

t

Dst

f,

Dst

f

id

C

(Dst

f,Y

t

Dst

f

)

[

Y

]

u

[Dst

f

]

f

=

f

id

C

(Dst

f,

Dst

f

)

[

Y

]

u

[Dst

f

]

f

=

f Y

IM

f

.